in

بی نظیربی نظیر افتضاحافتضاح ضعیفضعیف بامزهبامزه

آشنایی با اشکال سه بعدی در ریاضیات

حجم و مساحت مهمترین اشکال سه بعدی

ریاضیات و هندسه، همیشه از دروس چالش برانگیز برای دانش آموزان و دانشجویان در مراکز آموزشی هستند. اما خواسته یا ناخواسته، زندگی ما بر اساس اصول ریاضی بنا شده و بدون اشکال هندسی، نمی توان اجسام مختلف را طراحی کرد و ساخت. مربع، مستطیل و دایره شکل های هندسی دو بعدی هستند که اکثر ما با آنها آشنا هستیم. اما هندسه محدود به دو بعد نیست و در فضا هم می توان اشکال هندسی سه بعدی را تجسم کرد. در واقع اشکال سه بعدی زمانی به وجود می آیند که علاوه بر طول و عرض، اندازه ای تحت عنوان ارتفاع هم برای آنها قائل شویم. در ادامه مهمترین اشکال هندسی سه بعدی را به شما معرفی کرده و نحوه محاسبه حجم و مساحت رویه آنها را به شما یاد می دهیم.

کره از مهمترین اشکال هندسی سه بعدی

آشنایی با اشکال سه بعدی در ریاضیات

۱ – کره، مهمترین شکل سه بعدی

کره یک شکل هندسی کاملا گرد و متقارن در فضای سه بعدی است. تمامی نقاط موجود بر سطح کره، از یک نقطه ثابت (مرکز کره) فاصله یکسانی (شعاع کره) دارند. توپی که با آن بازی می کنیم و زمینی که بشر بر روی آن زندگی می کند، نمونه هایی از کره هستند. با در دست داشتن اندازه شعاع یک کره، می توان حجم و مساحت رویه آن را محاسبه کرد. اگر شعاع را با R و عدد پی را با π نشان دهیم، از فرمول های زیر می توان این دو اندازه را محاسبه کرد.

۲ – استوانه شکل سه بعدی پرکاربرد

اگر به قوطی های کمپوت و یا شیشه های گرد مربا دقت کنید، یک شکل سه بعدی پرکاربرد به نام استوانه را می بینید. استوانه سطح مقطعی دایره دارد و دور آن از مجموعه نقاطی تشکیل شده که از یک خط راست (محور استوانه) فاصله یکسانی دارند. دو سر استوانه، توسط دو دایره عمود بر محور آن پوشانده می شود که به آنها قاعده می گویند.

استوانه ای با ارتفاع h و شعاع قاعده r را در نظر بگیرید. سطح جانبی استوانه در اصل یک مستطیل است. مستطیلی که طول آن برابر محیط قاعده یا همان ۲πr و عرض آن همان ارتفاع h است. پس مساحت سطح جانبی در استوانه برابر می شود با مساحت این مستطیل؛ یعنی ۲πrh. اگر مساحت دو قاعده بالایی و پایینی را هم به آن اضافه کنیم، مساحت کل رویه استوانه را می توان از رابطه زیر بدست آورد.

مساحت رویه شکل سه بعدی

با همین داده ها می توان حجم استوانه را نیز به راحتی و با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.

حجم استوانه

۳- مکعب مستطیل

یک شکل سه بعدی را با ۶ رویه یا وجه مستطیلی شکل تجسم کنید که همه زوایای آن قائمه باشد و وجوه روبروی آن با یکدیگر برابر باشند. این همان شکل فضایی است که به آن مکعب مستطیل می گویند. این شکل دارای طول، عرض و ارتفاع است. در حالت خاصی که اندازه طول و عرض و ارتفاع آن با هم برابر باشند، به آن مکعب می گویند. حجم مکعب مستطیل از حاصل ضرب ارتفاع در مساحت قاعده به دست می آید. یا به عبارتی دیگر:

مکعب مستطیل از مهمترین اشکال هعندسی سه بعدی

ارتفاع * عرض * طول = حجم مکعب مستطیل

برای محاسبه مساحت رویه این شکل سه بعدی هم می توان از رابطه زیر استفاده کرد. در این فرمول طول را با l و عرض را با w و ارتفاع را با h مشخص کرده ایم.

مساحت مکعب مستطیل

۴- هرم از مهمترین اشکال هندسی سه بعدی

هرم

هرم یکی از مهمترین اشکال هندسی سه بعدی است که بر اساس شکل قاعده خود، می تواند تعداد وجه های جانبی آن تغییر کند. این شکل فضایی از اتصال نقطه ای به نام راس، به تمام نقاط شکلی مسطح و بسته در صفحه (قاعده) به وجود می آید. قاعده می تواند دایره، مثلث، مربع و یا چند ضلعی باشد.

اهرام ثلاثه مصر، نمونه های مشهور از این شکل هندسی در طبیعت هستند. به خط قائمی که راس را به قاعده وصل کند، ارتفاع می گویند. حجم این شکل سه بعدی بستگی به شکل قاعده آن دارد. پس اگر این ارتفاع را با h و مساحت قاعده را با S نشان دهیم، حجم هرم از فرمول زیر محاسبه می شود.

 h * S * 1/3 = ارتفاع * (مساحت قاعده) * ۱/۳ = حجم هرم

یعنی حجم هرم در اصل یک سوم حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع است. مساحت رویه هرم در اصل برابر است با مجموع مساحت قاعده و مساحت وجه های جانبی.

مساحت جانبی + مساحت قاعده = مساحت هرم

اما اگر تمام اضلاع قاعده با یکدیگر برابر باشند، به آن هرم منتظم می گویند و محاسبه مساحت آن راحت تر است. حالت برعکس آن زمانی است که مثلا قاعده یک هرم، مستطیل باشد. در این حالت باید مساحت جوانب را به طور جداگانه حساب کرده و در نهایت با مساحت خود قاعده جمع کرد.

طول مایل * محیط قاعده * ½ + (مساحت قاعده) = مساحت هرم منتظم

در این فرمول منظور از طول مایل همان ارتفاع یکی از وجوه هرم است که در اصل مثلثی شکل هستند.

۵- مخروط، حالت خاصی از یک شکل هندسی سه بعدی

مخروط از مهمترین اشکال هندسی سه بعدی

تا حالا به کلاه های مخصوص تولد دقت کرده اید؟ این کلاه ها در اصل همان مخروط هستند. مخروط در اصل هرمی با قاعده دایره است که به یک نوک تیز به نام راس منتهی می شود. این شکل فضایی از مهمترین اشکال هندسی سه بعدی است که کاربردهای فراوانی دارد. از این شکل فضایی برای ساخت ابزار شیرینی پزی هم استفاده می شود. اگر شعاع قاعده یک مخروط را با r و ارتفاع اش را با h نشان دهیم، حجم آن از رابطه زیر به دست می آید.

حجم و مساحت مخروط

اما محاسبه مساحت کل رویه یک مخروط به این راحتی نیست. برای محاسبه آن باید در ابتدا اندازه s را در شکل بالا پیدا کنیم. s همان وتر مثلثی است که یک ضلع آن شعاع قاعده r و ضلع دیگرش همان ارتفاع h است. پس اول باید از رابطه فیثاغورث در ریاضیات، s را محاسبه کرده و سپس با جایگذاری اعداد در فرمول اصلی، مساحت کل مخروط به دست می آید.

کلام آخر

در سراسر این مطلب سعی کردیم تا با زبانی ساده و با ذکر مثال، مهمترین اشکال هندسی سه بعدی را به شما معرفی کنیم. همچنین فرمول مربوطه به محاسبه حجم و مساحت رویه این شکل های سه بعدی را ارائه دادیم. اما اگر سوالی در خصوص فرمول های حجم و مساحت و نحوه کار با آنها دارید، در بخش دیدگاه ها ذکر کنید تا در کوتاهترین زمان ممکن پاسخگوی شما باشم.

مطالب مرتبط: 

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

نویسنده: کیوان چوگلی

سلام.کیوان هستم، کارشناسی ارشد ریاضیات مالی و علاقمند به مباحث سرمایه گذاری در اوراق بهادار و بورس می باشم..به نویسندگی و نوشتن علاقمند هستم و همیشه در پی یادگیری مطالب جدید ...با نظرات خود بنده و تیم بلاگر نت نظر را دلگرمی دهید..